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山东自考报名入口-线性代数考试-知识点
第五部分∶ 公式必记
1、行列式
1. n行列式共有n2个元素,展开后有n!项,可分解为2n行列式∶
2. 代数余子式的性质∶
①、Aij和aij的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;
③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为|A|;
3. 代数余子式和余子式的关系∶ Mij=(-I)i+jAij Aij=(-I)i+jMij
4. 设n行列式D∶
将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D1,则D1=(-1)D;
将D顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为D1,则D1=(-1)D∶
将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为D3,,则D3,=D;
将D主副角线翻转后,所得行列式为D4,则D3=D;
5. 行列式的重要公式∶
①、主对角行列式∶主对角元素的乘积;
②、副对角行列式∶ 副对角元素的乘积×(-1)
③、上、下三角行列式(|◥|=|◣|)∶主对角元素的乘积;
④、|◥|和|◣|∶副对角元素的乘积×(-1)
⑥、范德蒙行列式∶ 大指标减小指标的连乘积;
⑦、特征值;
7.证明|A|=0的方法∶
①、|A|=-|A|
②、反证法∶
③、构造齐次方程组Ax=0,证明其有非零解;
④、利用秩,证明r(A)<n;
⑤、证明0是其特征值;
2、矩阵
1. A是n阶可逆矩阵∶
⟺ |A|≠0(是非奇异矩阵);
⟺ r(A)=n(是满秩矩阵)
⟺ A的行(列)向量组线性无关;
⟺ 齐次方程组Ax=0有非零解;
⟺ ∀b∈Rn,Ax=b总有唯一解;
⟺ A与E等价;
⟺ A可表示成若干个初等矩阵的乘积;
⟺ A的特征值全不为0∶
⟺ ATA是正定矩阵;
⟺ A的行(列)向量组是 Rn的一组基;
⟺ A是 Rn中某两组基的过渡矩阵∶
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