山东自考04184线性代数(经管类)知识点押题资料

线性代数(经管类)

考试-知识点押题资料

　　(★机密)

　　第1部分

　　(一)行列式的定义

　　行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.

　　1.二阶行列式

　　2.三阶行列式

　　称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢?教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.

　　3.余子式及代数余子式

　　对任何一个元素aij我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成

　　一个二阶行列式，称它为元素aij的余子式，记成Mij.

　　再记 Aij =(-1)i+jMij,称Aij为元素aij的代数余子式

　　例如A11= M11，A21=-M21，A31= M31

　　那么，三阶行列式D，定义为

　　我 们 把 它 称 为 D，按 第 一 列 的 展 开 式 ，经 常 简 写 成

　　(二)行列式的性质

　　性质1 行列式和它的转置行列式相等，即 D= D7

　　性质2 用数 k乘行列式 D中某一行(列)的所有元素所得到的行列式等于 kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.

　　性质 3 互换行列式的任意两行(列)，行列式的值改变符号.推论 1 如果行列式中有某两行(列)相同，则此行列式的值

　　等于零.

　　推论2 如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.

　　性质 4 行列式可以按行(列)拆开.

　　性质 5 把行列式 D 的某一行(列)的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行(列)的对应元素上去，所得的行列式仍为 D定理1(行列式展开定理)

　　(三)行列式的计算

　　行列式的计算主要采用以下两种基本方法;

　　(1)利用行列式性质，把原行列式化为上三角(或下三角)行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上(一1)，在按行或按列提取公因子 k 时，必须在新的行列式前面乘上 k.

　　(2)把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个"0"元素，再按这一行或这一列展开∶

　　解∶观察到第二列第四行的元素为 0，而且第二列第1行的元素是a，=1，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.

　　解∶方法1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取 0 值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为α+3b(我们把它称为行和相同行列式)，我们可以先把后三列都加到第1列上去，提出第1列的公因子a+3b，再将后三行都减去第1行;

　　方法2 观察到这个行列式每一行元素中有多个b，我们采用"加边法"来计算，即是构造一个与D，有相同值的五阶行列式∶

　　这样得到一个"箭形"行列式，如果q=b，则原行列式的值为零，故不妨假设a ≠b，

　　即a-b≠0，把后四列的-倍加到第1列上，可以把第1列的(一1)化为零. a-b

　　称为一个m 行n列矩阵或m×n矩阵

　　当m=n时，称A= (aij)mxn为n阶矩阵或n 阶方阵元素全为零的矩阵称为零矩阵，用Omxn或 O表示

　　3.矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而 n 阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号""与矩阵记号"(*)"也不同，不能用错.

　　(二)矩阵的运算

　　1. 矩阵的同型与相等

　　阵.若A与B同型，且对应元素相等，即a。=b，则称矩阵A与B相等，记为A= B.

　　因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.

　　2.矩阵的加、减法

　　故数k与矩阵A 的乘积就是A中所有元素都乘以k，要注意数k 与行列式D的乘积，只是用k 乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同。

　　矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.

　　4.乘法运算

　　由此定义可知，只有当左矩阵A 的列数与右矩阵 B 的行数相等时，AB才有意义，而且矩阵AB 的行数为A 的行数，AB 的列数为 B的列数，而矩阵AB中的元素是由左矩阵 A中某一行元素与右矩阵 B 中某一列元素对应相乘再相加而得到.

　　故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地∶

　　①不满足交换律，即AB ≠ BA

　　②在AB = 0时，不能推出A=0或B =0，因而也不满足消去律。

　　特别，若矩阵 A与B 满足AB= B4，则称A 与 B 可交换，此时A与B必为同阶方阵.

　　矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.

　　5.方阵的乘幂与多项式方阵

　　称 f(A)为A的方阵多项式，它也是一个n阶方阵

　　6.矩阵的转置

　　设A为一个m×n矩阵，把A中行与列互换，得到一个n×m矩阵，称为A的转置矩阵，记为 AT，转置运算满足以下运算律∶

　　由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义

　　设A为一个n阶方阵，若A满足AT=A，则称A为对称矩阵，若A满足AT=-A，则称A为反对称矩阵.

　　7.方阵的行列式

　　矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n阶方阵，有方阵的行列式的概念.

　　设 A=(a)为一个n阶方阵，则由A中元素构成一个n阶行列式|aij|n称为方阵。

　　A的行列式，记为|A|。

　　方阵的行列式具有下列性质∶设A，B为n阶方阵，k为数，则

　　(三)方阵的逆矩阵

　　1.可逆矩阵的概念与性质

　　设A为一个n阶方阵，若存在另一个n阶方阵B，使满足AB= BA=E，则把 B

　　称为A的逆矩阵，且说A为一个可逆矩阵，意指A 是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A 的逆矩阵 B记为A-1，从而A与A-1首先必可交换，且乘积为单位方阵 E.

　　逆矩阵具有以下性质∶设A，B为同阶可逆矩阵，k ≠0为常数，则

　　①A-1是可逆矩阵，且(A-1)-1=A;

　　②AB是可逆矩阵，且(AB)-1=B-1A-1;

　　③KA是可避矩阵，且(kA)-1=

　　A-1

　　④A是可逆矩阵，且(AT)-1=(A-1)T

　　⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即

　　设P为可逆矩阵，则PA=PB ⟺ A=B AP=BP⟺ A=B

　　2.伴随矩阵

　　设A=(aij)为一个n阶方阵，Aij为A的行列式|A|=|aij|n中元素aij的代数余子

　　伴随矩阵必满足

　　AA*=A*A=|A|E

　　|A*|=|A|n-1(n为A的阶数)

　　3. n 阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法

　　定理∶n阶方阵A可递⟺ |A|=0，且A-1=

　　A❋

　　推论∶设A，B均为n阶方阵，且满足AB=E，则A，B都可逆，且A-1=B，

　　B-1=A

　　(四)分块矩阵

　　1.分块矩阵的概念与运算

　　对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.

　　在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A 的列分块方式与右矩阵 B 的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时 A 的各子块分别左乘 B 的对应的子块.

　　2.准对角矩阵的逆矩阵

　　(五)矩阵的初等变换与初等方阵

　　1.初等变换

　　对一个矩阵 A 施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行(列)变换，统称为初等变换，

　　(1)交换A的某两行(列);

　　(2)用一个非零数k乘A的某一行(列);

　　(3)把A中某一行(列)的 k 倍加到另一行(列)上.

　　注意∶矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用" →"连接前后矩阵.

　　初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.

　　2.初等方阵

　　由单位方阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.

　　由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为Pij，Di(k)和Tij(k)，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.

　　3.初等变换与初等方阵的关系

　　设A为任一个矩阵，当在 A的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对 A作同类型的初等行变换;在 A 的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A 作同类型的初等列变换.